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t-Test: Parametrischer 1- und 2-Stichprobentest

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Prüfen von Mittelwertunterschieden metrischer Daten

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Zur Erinnerung

Parametrische Tests

  • Verteilungsabhängig
  • Arbeiten mit \(\bar{X}, s^2, s\)
  • Nur für metrische Daten
  • Annahmen:
    1. Unabhängigkeit (außer gepaarter t-Test)
    2. Varianzhomogenität (gleiche Varianzen)
    3. Normalität (Normalverteilung)
  • Tests:
    • F-Test
    • t-Test für 1 und 2 Stichproben
    • Varianzanalyse (ANOVA)
    • Kovarianzanalyse (ANCOVA)
    • Lineare Regression
    • Pearsons Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient

Prüfen der Annahmen

  • Schritt 1: Prüfen, ob Werte von Normalverteilung abweichen.
    • Grafisch: Histogramm, Boxplot
    • Test: Shapiro-Wilk- oder Kolmogorov-Smirnoff-Test
  • Schritt 2: Prüfen, ob die Varianzen in beiden Stichproben gleich verteilt sind.
    • Grafisch: Boxplot
    • Test: F-Test
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t-Test in R

Build-in Funktion t.test()

t.test(x, y = NULL,
       alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
       conf.level = 0.95, ...)
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t-Test für 1 Stichprobe

  • Hier wird getestet, ob sich der Mittelwert einer einzelnen Stichprobe von einem vorgegebenen Populationsmittelwert \(\mu_0\) unterscheidet.
  • Die Teststatistik t folgt einer t-Verteilung.

Anwendung

  • Zur Prüfung, ob die Steigung einer linearen Regression signifikant von Null abweicht (\(H_0: b=\beta=0\))
  • Vergleich einer Stichprobe mit einer anderen, bei der nur der Mittelwert bekannt ist.

Formel

\[t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\Rightarrow~~\text{wenn}~\mu_0 = 0: \frac{\bar{X}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

  • \(\bar{X}\) = Stichprobenmittelwert
  • \(\mu_0\) = theoretischer Populationsmittelwert
  • \(s_\bar{X}\) = Standardschätzfehler des Mittelwerts

Hypothesen

  • zweiseitig:
    • \(H_0: \mu = \mu_0\) vs. \(H_A: \mu \neq \mu_0\)
  • linksseitig:
    • \(H_0: \mu \geq \mu_0\) vs. \(H_A: \mu < \mu_0\)
  • rechtsseitig:
    • \(H_0: \mu \leq \mu_0\) vs. \(H_A: \mu > \mu_0\)
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t-Test für 1 Stichprobe

Beispiel Zugverhalten 1

Buchfink

Buchfink

Forschungsfrage

Unterscheidet sich unsere Stichprobe zum Zugverhalten des Buchfinks (BF1) von einer anderen Stichprobe (BF2), für die wir nur den Mittelwert kennen?

Kenngröße BF1 BF2
Mittelwert 1800km 1697km
Standardabweichung s ±900km ?
Stichprobengröße n 20 ?
Bildquelle: Wikipedia (CC BY-SA 2.5)
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t-Test für 1 Stichprobe

Beispiel Zugverhalten 2

Buchfink

Buchfink

Forschungsfrage

Unterscheidet sich unsere Stichprobe zum Zugverhalten des Buchfinks (BF1) von einer anderen Stichprobe (BF2), für die wir nur den Mittelwert kennen?

Kenngröße BF1 BF2
Mittelwert 1800km 1697km
Standardabweichung s ±900km ?
Stichprobengröße n 20 ?
Kennwert: \(\mu\) bzw. \(\bar{X}\)
H0: \(BF1 = BF2\)
HA: \(BF1 \neq BF2\)
Voraussetzung: Erfüllt (Stichprobe ist normal verteilt)
Teststatistik: t
alpha: 0.05
FG: n-1 = 19
p-Wert: Der t-Wert wird mit dem \(t_{krit}\) aus der t-Verteilung verglichen.
Bildquelle: Wikipedia (CC BY-SA 2.5)
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t-Test für 1 Stichprobe

Beispiel Zugverhalten 3

Buchfink

Buchfink

Die Daten 

bf
 [1]  697.62 1619.21  742.97 1065.16 1177.78   26.50 2764.10 2021.90  621.37
[10] 3215.24
 [ reached getOption("max.print") -- omitted 10 entries ]

Manuelle Berechnung 

# Berechnung des t-Werts
(t.val <- (mean(bf)-1697)/(sd(bf)/sqrt(20)) )
[1] 0.5118085
# Kritischer t-Wert
qt(p = c(0.025, 0.975), df = 19)
[1] -2.093024  2.093024
# P für berechneten t-Wert
pt(t.val, df = 19, lower.tail = FALSE)*2
[1] 0.6146824
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t-Test für 1 Stichprobe

Beispiel Zugverhalten 4

Build-in Funktion t.test() 

t.test(x = bf, mu = 1697, 
  alternative = "two.sided") # default
    One Sample t-test

data:  bf
t = 0.51181, df = 19, p-value = 0.6147
alternative hypothesis: true mean is not equal to 1697
95 percent confidence interval:
 1378.786 2221.213
sample estimates:
mean of x 
 1799.999

Zusammenfassung

  • Die Teststatistik t liegt zwischen dem unteren und oberen \(t_{krit}\), somit kann die \(H_0\) nicht verworfen werden.
  • Anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit ein statistisches Ergebnis wie das beobachtete zu erhalten, wenn die Nullhypothese wahr wäre, liegt bei 61.5%. Somit können wir annehmen, dass die \(H_0\) wahr ist.

→ Es gibt keinen signifikanten Unterschied zwischen unserer Stichprobe und der Vergleichsstichprobe (t = 0.51, df = 19, p > 0.5).

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Student’s t-Test für 2 unabhängige Stichproben mit gleichen Varianzen

  • Der am häufigsten verwendete Zweistichproben-Test.
  • Der Stichprobenumfang beider Gruppen darf ungleich sein.
  • Theoretisch kann der t-Test auch bei sehr kleinen Stichprobenumfängen (z. B. 10) verwendet werden.
  • Testet die Nullhypothese, dass die Mittelwerte von zwei Populationen gleich sind:
    • \(H_0: \mu_1 = \mu_2\) bzw. \(\mu_1-\mu_2=0\)

Formel

\[t=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2) -(\mu_1 - \mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \Rightarrow~~\text{wenn}~~\mu_1-\mu_2=0:~t = \frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\]

\(s_p\) = Standardabweichung der gepoolten Stichprobe: \(s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2 -1)s_2^2}{(n_1-1) + (n_2-1)}}\)

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t-Test für 2 unabhängige Stichproben mit ungleichen Varianzen (Welch Test)

  • Was ist, wenn die Varianzen nicht gleich sind?
  • Dann ist die t-Verteilung mit \((n_1-1)+(n_2-1)\) Freiheitsgraden keine gute Annäherung an die Stichprobenverteilung und auch die gepoolte Schätzung der Standardabweichung ist nicht mehr geeignet.
  • Sowohl die Teststatistik t als auch die FGs müssen angepasst werden:

Formel

\[t=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2) -(\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

= “Welch Two Sample t-test” (Standardeinstellung in R)

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Gepaarter t-Test: 2 abhängige Stichproben

  • Abhängigkeit entsteht z.B. durch
    • Messwiederholung der gleichen Stichprobe (vor und nach einer Behandlung, Stichproben in zwei verschiedenen Jahren usw.),
    • wenn Paare auf zwei Gruppen aufgeteilt werden (es wird z.B. der Größenunterschied zwischen weiblichen und männlichen Schwänen untersucht, aber nur Paare beprobt).
  • Testet die Nullhypothese, dass die Mittelwerte von zwei Populationen gleich sind bzw. die Differenz zwischen den gepaarten Beobachtungen Null ist:
    • \(H_0: d = \mu_1-\mu_2 = 0\)

Berechnung

  1. Berechnung der Differenzen der gepaarten Beobachtung.
  2. Berechnung des Mittelwerts und der Standardabweichung aus diesen Differenzen.

Formel

\[t = \frac{\bar{d}-\mu_d}{s_{\bar{d}}} = \frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

mit \(FG = n-1\)

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Ãœbersicht der 1- und 2-seitigen Hypothesen bei t-Tests

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Ãœbersicht der t-Test Anwendungen in R

t.test()

  • 1-Stichproben t-Test, zweiseitige Hypothese (Standard):
    • t.test(x, mu)
  • Unabhängiger 2-Stichproben-t-Test (gleiche Varianzen), zweiseitig: \(H_A\): µ1 ≠ µ2
    • t.test( x, y, var.equal = TRUE)
  • Unabhängiger 2-Stichproben-t-Test (gleiche Varianzen), einseitig: \(H_A\): µ1 > µ2:
    • t.test( x, y, var.equal = TRUE, alternative = “greater”)
  • Welch-Test (ungleiche Varianzen = default), einseitig: \(H_A\): µ1 < µ2
    • t.test( x, y, alternative = “smaller”)
  • Gepaarter 2-Stichproben-t-Test (gleiche Varianzen) , zweiseitige Hypothese:
    • t.test( x, y, paired = TRUE, var.equal = TRUE)
  • Gepaarter t-Test mit 2 Stichproben (ungleiche Varianzen) , einseitig: \(H_A\): µ1 > µ2
    • t.test( x, y, paired = TRUE, alternative = “greater”)
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Beispiel Zugverhalten: Buchfinken vs. Mönchsgrasmücken

1

Unterscheidet sich das durchschnittliche Zugverhalten zwischen Buchfinken und Mönchsgrasmücken?

Beispiel Zugverhalten

Kenngröße Buchfink Mönchsgrasmücke
Mittelwert 1800km 3000km
Standardabweichung s ±900km ±1000km
Stichprobengröße n 20 30


Buchfink


Mönchsgrasmücke

Bildquellen: Wikipedia - Buchfink (CC BY-SA 2.5) Mönchsgrasmücke (CC0)

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Beispiel Zugverhalten: Buchfinken vs. Mönchsgrasmücken

2

Kennwert: \(\mu\) bzw. \(\bar{X}\)
H0: \(\mu_{BF} = \mu_{MGM}\)
HA: \(\mu_{BF} \neq \mu_{MGM}\)
Voraussetzung: Erfüllt (Stichproben sind normal verteilt und Varianzen gleich)
Teststatistik: \(t = \frac{(\bar{X}_{BF}-\bar{X}_{MGM})}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_{BF}} + \frac{1}{n_{MGM}}}}\)
alpha: 0.05
FG: \((n_{BF}-1)+(n_{MGM}-1)\) = 19 + 29
p-Wert: Der t-Wert wird mit dem \(t_{krit}\) aus der t-Verteilung verglichen. 
t.test(x = bf, y = mgm, var.equal = TRUE)
    Two Sample t-test

data:  bf and mgm
t = -4.3226, df = 48, p-value = 7.733e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1758.1677  -641.8326
sample estimates:
mean of x mean of y 
 1799.999  3000.000
  • \(H_0\) kann abgelehnt werden.
  • Die Zuglänge ist bei Buchfinken signifikant kleiner als bei Mönchsgrasmücken (t = -4.3, df = 48, p < 0.001).
p
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Your turn …

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Quiz 1 zum Nachmachen

Kelchblattlänge in iris

Ausgangssituation:

  • Es soll die Hypothese getestet werden, dass die durchschnittliche Kelchblattlänge der Art Iris setosa kleiner ist als bei der Art Iris virginica.
  • Beide Stichproben sind normal verteilt (jeweils W = 0.97, p > 0.05).
  • Die Varianzen beider Stichproben sind signifikant unterschiedlich (\(F_{(49,49)}=3.25\), p < 0.001).

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Quiz 2 zum Nachmachen

Kelchblattlänge in iris

set <- iris$Sepal.Length[iris$Species=="setosa"]
vir <- iris$Sepal.Length[iris$Species=="virginica"]

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Quiz 3 zum Nachmachen

Kelchblattlänge in iris

t.test(x = set, y = vir, alternative = 'less')
    Welch Two Sample t-test

data:  set and vir
t = -15.386, df = 76.516, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -1.410804
sample estimates:
mean of x mean of y 
    5.006     6.588

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Nicht-Parametrische Tests - Teil 1

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Vergleich zweier Stichproben mit metrischen und ordinalen Daten

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Zur Erinnerung

Nicht-Parametrische Tests

  • Verteilungsfrei (keine Normalverteilung erforderlich)
  • Arbeiten mit Median und Rängen
  • Für metrische, ordinale, und nominale Daten
  • Teststärke ist allgemein niedriger
  • Nicht geeignet, wenn das Design komplex ist
  • Tests:
    • Mann-Whitney U-Test
    • Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test
    • Chi-Quadrat-Tests
    • Kruskal-Wallis-Test
    • Friedman-Test
    • Rangkorrelation (z.B. Spearman, Kendall)

Wann werden nicht-parametrische Tests noch verwendet?

  • Bei kleinen Stichproben (n = 3-10) ist es oft nicht möglich zu zeigen, dass metrische Daten von einer Normalverteilung abweichen, auch wenn sie real weit von davon entfernt sind, normalverteilt zu sein.
    • Bsp.: Verteilung der Baumdurchmesser im Trockenwald: 5, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 10, 15, 188 cm
  • Unter diesen Bedingungen werden die metrischen Daten in ordinale Daten (= Rangdaten) überführt, um damit weiterzurechnen.
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2 unabhängige Stichproben: Mann-Whitney U-Test

  • Einer der bekanntesten nicht-parametrischen Signifikanztests.
  • Auch Mann-Whitney-Wilcoxon (MWW)-Test oder Wilcoxon-Rangsummentest genannt.
  • Äquivalent zum unabhängigen 2-Stichproben t-Test, allerdings nur 95% der Teststärke.
  • Ziel:
    • Vergleich der Mediane zweier unabhängiger Stichproben auf signifikanten Unterschied, wobei Rangsummen verwendet werden.
  • Bedingungen:
    • Beide Grundgesamtheiten sollten stetige Verteilungen von gleicher Form haben.
    • Daten müssen mindestens ordinalskaliert sein.
    • Stichproben können verbunden sein.
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Mann Whitney U

Berechnung

  1. Bilden der Ränge für die Werte beider Stichproben zusammen (\(N=m+n\)).
    • Bei gleichen Werten werden Rangmittelwerte vergeben.
  2. Bilden der Rangsummen für jede der beiden Gruppen (\(R_x\) und \(R_y\))
    • Bei unterschiedlichen Stichprobengrößen sind die Rangsummen auch unterschiedlich.
  3. Berechnen von \(U_x\) und \(U_y\):
    • \(U_x = m*n+\frac{m(m+1)}{2}-R_x\)
    • \(U_y = m*n+\frac{n(n+1)}{2}-R_y\) oder \(U_y = m*n-U_x\)
  4. Für R das kleinere der errechneten U nehmen: \(U_{min} = min(U_x, U_y)\)
    • Wenn das errechnete \(U_{min}\) kleiner ist, als das für die gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit tabellierte \(U_{krit}\), dann unterscheiden sich die beiden Stichproben.
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Mann Whitney U

Wilcoxon Verteilung 1

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beobachtete Rangsumme zufällig entstanden ist, wenn beide Stichproben zur gleichen Verteilung gehören?

  • Die Rangsumme der Ränge in einer Stichprobe wird als Zufallsvariable aus der kombinierten Rangverteilung behandelt.
  • Diese Rangverteilung wird Wilcoxon-Verteilung genannt und ist eine diskrete Verteilung → \(U_{krit} = (m, n, \alpha)\)

Z-Verteilung bei großen N

  • Für große Stichproben (nicht mehr in den U-Tabellen abgebildet) wird ein Z-Wert ausgerechnet.
  • Die Irrtumswahrscheinlichkeit für diesen z-Wert kann in der Z-Tabelle nachgeschlagen werden bzw.in R mit pnorm(z, mean = 0, sd = 1) ermittelt werden.
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Mann Whitney U

Wilcoxon Verteilung 2

dwilcox(x, m, n)
pwilcox(x, m, n)
qwilcox(c(0.025, 0.975), m, n)
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Mann Whitney U

Kohlmeisen Beispiel

Kohlmeisenmännchen

Männliche Kohlmeise

…Great tits in cities sing faster and at a higher pitch compared to their conspecifics dwelling in forests, as reported in this issue by Slabbekoorn and den Boer-Visser [6]. They suggest that the birds changed their songs to make them stand out against the masking traffic noise in urban areas. ..

Bildquelle: Luc Viator-Wikimedia (CC-BY-SA 2.0)
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Mann Whitney U

Kohlmeisen Beispiel

Ausgangssituation

Vorgehensweise?

  • Messen von 6 verschiedenen Individuen auf dem Land und in der Stadt.

Fragestellung?

  • Singen Kohlmeisen in der Stadt lauter als auf dem Land? (1-seitig)
  • Unterscheiden sich die Gesänge von Meisen in der Stadt und auf dem Land in ihrer Lautstärke? (2-seitig)

Prüfen auf Normalverteilung?

  • Fällt weg, da bei kleinen Stichprobengrößen schwierig zu zeigen, dass Daten von Normalverteilung abweichen oder: zu faul zum Prüfen.


Kennwert: \(\mu_M\) bzw. \(\bar{X}_M\)
H0: \(\mu_{M(Stadt)} \leq \mu_{M(Land)}\) bzw. \(\mu_{M(Stadt)} = \mu_{M(Land)}\)
HA: \(\mu_{M(Stadt)}\) > \(\mu_{M(Land)}\) bzw. \(\mu_{M(Stadt)} \neq \mu_{M(Land)}\)
Voraussetzung: Fällt weg
Teststatistik: U
alpha: 0.05
FG: n-1 = 19
p-Wert: Der U-Wert wird mit dem \(U_{krit}\) aus der Wilcoxon-Verteilung verglichen.
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Kohlmeisen Beispiel

U-Werte

Messung

Messort Lautstärke (in dB) Rang
Stadt 52 10
Stadt 44 6
Stadt 64 12
Stadt 53 11
Stadt 31 2
Stadt 50 9
Land 47 7
Land 29 1
Land 32 3
Land 42 5
Land 37 4
Land 48 8

\[U_x = m*n+\frac{m(m+1)}{2}-R_x\] \[U_y = m*n+\frac{n(n+1)}{2}-R_y\]

Berechnung

\(R_{Stadt}=50\)

\(R_{Land}=28\)

\(U_{Stadt}=6*6+\frac{6(6+1)}{2}-50 = 7\)

\(U_{Land}=6*6+\frac{6(6+1)}{2}-28 = 29\)

\(\Rightarrow U_{min} = U_{Stadt} = 7\)

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Kohlmeisen Beispiel

Signifikanz

Krit. U-Wert 

# 2-seitig (HA: Stadt != Land)
qwilcox(0.025, m = 6, n = 6)
[1] 6
pwilcox(7, m = 6, n = 6) * 2 
[1] 0.09307359
# 1-seitig (HA: Stadt > Land)
qwilcox(0.05, m = 6, n = 6)
[1] 8
pwilcox(7, m = 6, n = 6) 
[1] 0.0465368

FAZIT

  • 2-seitiger Test: \(U_{Stadt}\) < \(U_{\alpha = 0.025}\) ??
    • Die beiden Gruppen unterscheiden sich nicht (2-seitiger Mann-Whitney U Test, U = 7, p > 0.05).
  • 1-seitiger Test: \(U_{Stadt}\) < \(U_{\alpha = 0.05}\) ??
    • Die Lautstärke in der Stadt ist schwach signifikant höher (1-seitiger Mann-Whitney U Test, U = 7, p < 0.05).
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Mann Whitney U in R

wilcox.test()

  • Mann Whitney U Test ist Standardeinstellung in wilcox.test() Funktion.
  • Ein exakter p-Wert wird “standardmäßig” berechnet, wenn weniger als 50 Werte und keine gleichen Ränge (“ties”) vorhanden sind. Ansonsten wird eine Näherung auf Basis der Standardnormalverteilung verwendet.

2-seitige Hypothese 

wilcox.test(x = land, y = stadt)
    Wilcoxon rank sum exact test

data:  land and stadt
W = 7, p-value = 0.09307
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

H0: Die Verteilungen von x und y unterscheiden sich nicht in ihrem Lageparameter \(\mu\) ( H0: \(\mu_x - \mu_y=0\)).

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Mann Whitney U in R

Reihenfolge

  • Die p-Wert bezieht sich immer auf \(U_{min}\).
  • Allerdings wird immer der U-Wert wiedergegeben, der in der Funktion dem y Argument zugewiesen wird:
wilcox.test(x = land, y = stadt)
    Wilcoxon rank sum exact test

data:  land and stadt
W = 7, p-value = 0.09307
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
wilcox.test(x = stadt, y = land)
    Wilcoxon rank sum exact test

data:  stadt and land
W = 29, p-value = 0.09307
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
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Mann Whitney U in R

1-seitige Hypothese

HA: dB (Land) < db (Stadt) 

wilcox.test(x = land, y = stadt, alternative = "less")
    Wilcoxon rank sum exact test

data:  land and stadt
W = 7, p-value = 0.04654
alternative hypothesis: true location shift is less than 0

HA: dB (Stadt) > db (Land) 

wilcox.test(x = stadt, y = land, alternative = "greater")
    Wilcoxon rank sum exact test

data:  stadt and land
W = 29, p-value = 0.04654
alternative hypothesis: true location shift is greater than 0
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Vergleich Mann-Whitney U-Test vs. t-Test (bei falschen Annahmen)

Unterscheiden sich mit Fadenwürmern infizierte und mit Interleucin-33 behandelte Mäuse von nicht behandelten Kontrollen in der Zahl adulter Fadenwürmer im Dünndarm?

wurm <- data.frame(
  interleucin = c(5,5,5,6,8,10,10,11, 120),
  kontrolle = c(14,17,18,20,22,24,25,26,23)
)

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Testergebnisse mit dem Ausreißer

Mann-Whitney U-Test

wilcox.test(wurm$interleucin, wurm$kontrolle)
    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  wurm$interleucin and wurm$kontrolle
W = 9, p-value = 0.006061
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

→ \(H_0\) kann abgelehnt werden. Es gibt einen signifikanten Unterschied.

t-Test

t.test(wurm$interleucin, 
  wurm$kontrolle, var.equal = FALSE)
    Welch Two Sample t-test

data:  wurm$interleucin and wurm$kontrolle
t = -0.079381, df = 8.1841, p-value = 0.9386
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -29.93629  27.93629
sample estimates:
mean of x mean of y 
       20        21

→ \(H_0\) kann nicht abgelehnt werden. Es gibt keinen signifikanten Unterschied.

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Testergebnisse ohne den Ausreißer

Mann-Whitney U-Test

wilcox.test(wurm$interleucin[-9], wurm$kontrolle[-9])
    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  wurm$interleucin[-9] and wurm$kontrolle[-9]
W = 0, p-value = 0.0008989
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

→ \(H_0\) kann weiterhin abgelehnt werden. Es gibt einen signifikanten Unterschied.

t-Test

t.test(wurm$interleucin[-9], 
  wurm$kontrolle[-9], var.equal = FALSE)
    Welch Two Sample t-test

data:  wurm$interleucin[-9] and wurm$kontrolle[-9]
t = -7.5714, df = 11.524, p-value = 8.361e-06
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -17.080474  -9.419526
sample estimates:
mean of x mean of y 
     7.50     20.75

→ Jetzt kann \(H_0\) abgelehnt werden.

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2 abhängige Stichproben: Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

  • Im englischen auch Wilcoxon Signed Rank Test genannt.
  • Nicht-parametrisches Äquivalent zum gepaarten 2-Stichproben-t-Test:
    • Teststärke allerdings nur 95% des t-Tests
  • R Funktion auch wilcox.test(), aber mit Argument paired=TRUE

Vorzeichentest

  • Geringere Teststärke als der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test
  • keine R Funktion in Basispaketen
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Ãœbersicht der Anwendungen in R

wilcox.test()

  • Unabhängiger 2-Stichproben Test: Mann-Whitney U-Test, zweiseitige Hypothese (Standard): \(H_A\): µ1 ≠ µ2
    • wilcox.test( x, y)
  • Unabhängiger 2-Stichproben Test: Mann-Whitney U-Test, einseitig: \(H_A\): µ1 > µ2:
    • wilcox.test( x, y, alternative = “greater”)
  • Gepaarter 2-Stichproben-Test: Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test, zweiseitige Hypothese:
    • wilcox.test( x, y, paired = TRUE)
  • Gepaarter 2-Stichproben-Test: Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test, einseitig: \(H_A\): µ1 < µ2
    • wilcox.test( x, y, paired = TRUE, alternative = “less”)
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Fragen?

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